Chapitre 5 - Expressions algébriques

Effectuer un calcul numérique.
Associer une expression algébrique à un programme de calcul.
Associer un programme de calcul à une expression algébrique.
Applications « programmation calculatrice »

ICalculs et priorités

1Priorités opératoires

Dans une expression numérique (nombres, opérations ($+ - \times \frac{.}{.} \sqrt{.}$ puissances), parenthèses), les calculs se font dans un ordre précis :

parenthèses en premier
puissances et $\sqrt{.}$ indifférement
$\times$ et $\frac{.}{.}$ indifférement
$+$ et $-$ indifférement

$\frac{8 - 3 \sqrt{4^3}}{2 \times (2 + \sqrt{4})} = \frac{8 - 3 \sqrt{64}}{2 \times (2 + 2)} = \frac{8 - 3 \times 8}{2 \times 4} = \frac{8 - 24}{8} = \frac{-16}{8} = -2$

Les calculatrices respectent les priorités opératoires. Si l'on veut calculer $\frac{2 + 1}{1 + 1}$ et que l'on tape $2 + 1 / 1 + 1$, la calculatrice fera la division $1 / 1$ en premier, ce qui est une erreur. Il faut donc penser à ajouter des parenthèses comme ceci $(2+1)/(1+1)$ car la calculatrice n'a pas de trait de fraction.

2Rappels sur les fractions et les puissances

Additionner deux fractions en réduisant au même dénominateur : $$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a d + b c}{b d}$$ Multiplier deux fractions : $$ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a c}{c d} $$ Diviser deux fractions : $$ \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a d}{b c}$$

Multiplier deux puissances d'un même nombre : $$a^n \times a^m = a^{n + m}$$ Diviser deux puissances d'un même nombre : $$\frac{a^n}{a^m} = a^{n - m}$$ Puissance de puissance : $$ (a^n)^m = a^{n \times m}$$

Sur la calculatrice, $a^b$ se note

a^b

IIProgrammes de calcul et expressions algébriques

1Programme de calcul

Un programme de calcul est une suite d'instructions de calculs précises et ordonnées permettant de réaliser un même calcul répétitif sur des nombres différents

Un magasin fait une réduction de 20% sur tous ses articles. Afin de recalculer le nouveau prix de chaque article, il faut réaliser le programme de calcul suivant sur les prix de chaque article :

Choisir un nombre (ici c'est un prix)
Multiplier le nombre par $0,2$
Retirer le résultat au nombre de départ

En informatique, ce type d'instructions s'appelle un algorithme, le nombre d'entrée s'appelle une variable d'entrée, le résultat s'appelle une variable de sortie. Le programme de calcul n'est pas fait par une personne, mais par un ordinateur qui peut réaliser ces opérations des millions de fois plus rapidement.

Sur une TI-82, le programme de calcul précédent ressemblerait à :

Input x

0.2 * x → y

Disp y

2Expressions algébriques

Une expression algébrique est similaire à une expression numérique car elle contient nombre et opérations. De plus, elle peut contenir des littéraux ($a, b, x, y,$etc.).
Un littéral est une lettre représentant une valeur inconnue.

Les expressions algébriques, en mathématique ou physique, servent notamment à représenter des formules classiques :

$L \times l$
$\frac{b \times h}{2}$

A chaque programme de calcul peut correspondre un algorithme, mais aussi une expression algébrique. Chaque variable d'un algorithme correspond à un littéral.

Dans l'exemple précédent sur les 20% de réduction, si l'ancien prix est représenté par $x$, en suivant les étapes de calcul, le nouveau est représenté par l'expression algébrique $x - 0,2 x $.

Une expression algébrique peut alors être évaluée pour différentes valeurs des littéraux en remplaçant les littéraux par des valeurs choisies.

On ne note pas $3\times x$ ou $x\times 3$, mais $3 x$. De même, on ne note pas $1 x$, mais simplement $x$

Si on évalue l'expression de l'exemple précédent pour $x = 10$, on obtient le prix de 10€ après une réduction de 20% : $$10 - 0,2\times 10 = 10 - 2 = 8$$

IIIEgalité d'expressions algébriques

La formule du périmètre d'un rectangle peut se faire de deux manières :

On ajoute les deux longueurs aux deux largeurs : $2L + 2l$
On ajouter la longueur à la largeur et on multiplie le tout par 2 : $2 (L+l)$

On ne change pas les valeurs possibles d'une expression algébrique en développant ou en factorisant :

$a (b+c) = a b + a c$
$(a+b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$

En conséquence, on obtient les identités remarquables suivantes :

$(a+b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2$
$(a-b)^2 = a^2 - 2 a b + b^2$
$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$

Utiliser les expressions algébriques au lieu de programmes de calculs permet de résoudre des problèmes que l'on ne saurait par résoudre autrement en résolvant des équations :

1 J’ai pensé un nombre, je l’ai multiplié par 4, j’ai soustrait 10 au produit obtenu, j’ai multiplié la différence obtenue par 3 et enfin j’ai soustrait à ce produit le double du nombre choisi au départ. J’ai alors obtenu 100 comme résultat. A quel nombre ai-je pensé ?

2 On commence par traduire ce programme de calcul en expression algébrique : $$ (4x - 10)\times3 − 2 x = 100 \\ 12 x - 30 - 2 x = 100 \\ 10 x - 30 = 100 \\ 10 x = 130 \\ x = 13 $$